Instabilité spectrale semiclassique pour des opérateurs non-autoadjoints I: un modèle

— In this work, we consider a simple differential operator as well as perturbations. While the spectrum of the unperturbed operator is confined to a line inside the pseudospectrum, we show for the perturbed operators that the eigenvalues are distributed inside the pseudospectrum according to a bidimensional Weyl law. Table des matières Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Pseudospectre et solutions BKW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Enoncé et résolution du problème de Grushin. . . . . . . . . 9 3. Perturbation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Propriétés analytiques de E−+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Analyse de E −+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6. Construction de la perturbation du théorème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Perturbation par une somme de noyaux oscillants. . . . . 24 8. Zéros de E −+ et fin de la preuve du théorème 2. . . . . . . 31 Classification mathématique par sujets (2000). — 34E10, 47G10, 47A75. Mots clefs. — Pseudospectre, perturbation, opérateurs non-autoadjoints. 2 INSTABILITÉ SPECTRALE SEMICLASSIQUE 9. Preuve du théorème 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Introduction Il est bien connu que pour des opérateurs non-autoadjoints, la norme de la résolvante peut être très grande même loin du spectre. Par exemple, dans la théorie des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, ceci constitue une difficulté théorique importante (voir par exemple [1]). Le sujet a regagné de l’actualité avec des travaux sur les résonances d’une part, et d’autre part par des contributions dans les mathématiques appliquées et l’introduction par N. Trefethen de la notion de pseudospectre [15]. Parmi les nombreuses autres contributions, on peut citer S. Reddy, P. Schmid et D. Hennningson [7] qui ont appliqué cette notion à l’opérateur d’OrrSommerfeld, et ont mis en évidence numériquement l’instabilité spectrale. E.B. Davies a étudié des opérateurs de Schrödinger à potentiel complexe ([3]), et a construit des quasimodes prouvant que le pseudospectre est dans ce cas beaucoup plus grand que le spectre. M. Zworski ([18]) a observé que la condition d’existence de ces solutions locales asymptotiques s’interprète comme une condition de commutateur de Hörmander. Ceci a servi comme point de départ pour généraliser ce résultat à des opérateurs pseudodifférentiels (dans le cadre semiclassique) et à plusieurs dimensions par N. Dencker, J. Sjöstrand et M. Zworski ([11]). Voir aussi le travail récent de L. Trefethen ([17]). De manière équivalente, le pseudospectre peut s’introduire comme une région d’ « instabilité spectrale » (voir [4]). Ceci explique l’importance de cette notion pour des calculs numériques involvant des matrices nonnormales. Notamment pour des matrices de Toeplitz, intervenant lors de discrétisations d’opérateurs différentiels, le pseudospectre semble pouvoir jouer un role important dans l’étude de la stabilité du problème d’évolution discret correspondant ([16]). Davies ([5]) propose une approche directe des problèmes d’évolution utilisant le pseudospectre, et les travaux antérieurs de Tang-Zworski ([13]) et de Burq-Zworski ([2]) illustrent bien les difficultés pseudospectrales pour les problèmes d’évolution. M.Zworski observe aussi que lors du calcul numérique des valeurs propres de certains opérateurs différentiels dans le cadre semiclassique, il semble y avoir un phénomène de migration des valeurs propres vers le bord du pseudospectre, dans la limite semiclassique([19]). Ce phénomène nous INSTABILITÉ SPECTRALE SEMICLASSIQUE 3 a motivé d’entreprendre une étude des perturbations d’opérateurs nonautoadjoints. Nous allons examiner ici le comportement spectral d’un opérateurexemple sous des perturbations à noyau oscillant, et nous allons trouver une asymptotique de Weyl pour le nombre de valeurs propres de l’opérateur perturbé dans un domaine à l’intérieur du pseudospectre ; pour ce genre de perturbations il n’y aurait donc dans notre cas pas forcément de migration des valeurs propres vers le bord. De plus, nous étudions dans le théorème 1 l’étendue maximale de la zone sans valeurs propres de l’opérateur perturbé par une perturbation ayant un seul noyau oscillatoire. Considérons l’opérateur non-formellement-autoadjoint dans L(S) P = hDx + g(x) , h ∈ (0, 1] , Dx = 1 i ∂ ∂x . (0.1) Nous supposons : Hypothèse 1. — g(x) est un potentiel analytique (à valeurs dans C) tel que Im g′ 6= 0 , (0.2) sauf en deux points critiques a, b ∈ S, avec Im g(a) ≤ Im g(x) ≤ Im g(b), ∀x ∈ S . Nous introduisons le symbole semiclassique p(x, ξ) = ξ + g(x), (x, ξ) ∈ T ∗(S1) . (0.3) Définition 1. — Le pseudospectre semiclassique Σ ⊂ C de P est défini par Σ := p(T ∗(S1)). (0.4) Ici ce sera la bande Σ = {Im g(a) ≤ Im z ≤ Im g(b)} , (0.5) et le spectre se situe à l’intérieur de Σ (ce que nous allons montrer dans le paragraphe suivant). Nous dénotons par σ(A) le spectre de A. Pour z ∈ ◦ Σ, nous introduisons les points ρ±(z) = (x±, ξ±) ∈ T ∗(S1) donnés par ρ±(z) ∈ p−1(z); ∓Im g(x±) > 0 . (0.6) 4 INSTABILITÉ SPECTRALE SEMICLASSIQUE Pour Γ ⊂ ◦ Σ un ensemble nous définissons Γ−+(Γ) := {(ρ−(z), ρ+(z)); z ∈ Γ} (0.7) qui est homéomorphe à Γ. Si Γ est un ouvert, alors Γ−+(Γ) est une sous-variété symplectique de T ∗(S1)×T ∗(S1) pour la forme symplectique dξ∧dx−dη∧dy (voir (4.2)), et nous notons |Γ−+| le volume symplectique correspondant. Nous introduisons la projection Π(x,y) : T ∗(S1)× T ∗(S1) → S × S , (0.8) (x, ξ, y, η) → (x, y) . Théorème 1. — Soit γ ⊂ Σ une courbe de la forme Re z = f(Im z), Im z ∈ [a′, b′], Im g(a) < a′ < b′ < Im g(b) (0.9) où f est analytique. Alors il existe un voisinage U ⊂ S1×S1 de γ̃ = Π(x,y)(Γ−+(γ)), ǫ0 > 0, C0 > 0, une fonction φ analytique dans U (et independante de z) avec Imφ ≥ 0, et χ ∈ C∞ c (U) (indépendant de z), χ = 1 près de γ̃ tels que : Si Q : L(S) → L(S) a le noyau intégral k(x, y) = χ(x, y)e i h φ(x,y) , (0.10) et si δ = e− ǫ h , pour 0 < ǫ < ǫ0, alors pour h assez petit en fonction de ǫ on a : σ(P + δQ) ∩ Vǫ = ∅ , (0.11) où Vǫ = {z ∈ Σ; dist (z, γ) ≤ √ ǫ C0 }. Ensuite nous considérons une perturbation δQ, où Q = Q(ǫ), 0 < ǫ ≤ ǫ0 << 1 est la somme de plusieurs termes oscillants : Hypothèse 2. — Soit